[ID:3-5936992] 2019年天津市南开区中考数学二模试卷(PDF解析版)
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第 1 页(共 20 页) 2019 年天津市南开区中考数学二模试卷 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.(3 分)计算 2﹣(﹣3)×4 的结果是( ) A.10 B.﹣20 C.﹣10 D.14 2.(3 分)2cos30°的值等于( ) A. B. C. D. 3.(3 分)我区围绕培育和践行社会主义核心价值观为主线,扎实推进《天津市文明行为促进条例》宣传贯彻,与 《天津日报》联合刊发《文明南开社区读本》文明条例宣传专刊 40000 份.将“40000”用科学记数法表示为( ) A.4×10 5 B.4×10 4 C.0.4×10 5 D.40×10 3 4.(3 分)观察下列图形,是轴对称图形但不是中心对称图形的有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 5.(3 分)如图是一个由 5 个相同的正方体组成的立体图形,它的三视图是( ) A. B. C. D. 第 2 页(共 20 页) 6.(3 分)实数 a、b、c、d 在数轴上的对应点的位置如图所示,在这四个数中,绝对值最小的数是( ) A.a B.b C.c D.d 7.(3 分)方程组 的解是( ) A. B. C. D. 8.(3 分)反比例函数 y= 的图象上有两点 A(x1,y1),B(x2,y2),若 x1>x2,x1x2>0,则 y1﹣y2 的值是( ) A.正数 B.负数 C.0 D.非负数 9.(3 分)如图,Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC,将△ABC 绕点 C 顺时针旋转 40°得到△A′B′C,CB′ 与 AB 相交于点 D,连接 AA′,则∠B′A′A 的度数为( ) A.10° B.15° C.20° D.30° 10.(3 分)如图所示的“六芒星”图标是由圆的六等分点连接而成,若圆的半径为 2,则图中阴影部分的面积为( ) A. B.3 C.6 D.4 11.(3 分)如图,正△ABC 的边长为 2,过点 B 的直线 l⊥AB,且△ABC 与△A′BC′关于直线 l 对称,D 为线段 BC′上一动点,则 AD+CD 的最小值是( ) 第 3 页(共 20 页) A.4 B.3 C.2 D.2+ 12.(3 分)如图,已知二次函数 y=ax 2 +bx+c(a≠0)的图象与 x 轴交于点 A(﹣1,0),顶点坐标为(1,n),与 y 轴的交点在(0,2)和(0,3)之间(不包括端点).有下列结论:①当 x>3 时,y<0;②n=c﹣a;③3a+b >0;④﹣1<a<﹣ .其中正确的结论有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分) 13.(3 分)计算:(﹣3a) 2 a 3 = . 14.(3 分)化简:( )÷ 的结果是 . 15.(3 分)已知直线 y=kx+1 经过第一、二、四象限,该直线解析式可以是 . 16.(3 分)如图在圆形靶中,AC 与 BD 是⊙O 的两条直径,首尾顺次连接点 A、B、C、D,得到四边形 ABCD,且 ∠BAC=30°,则射击到靶中阴影部分的概率是 . 17.(3 分)如图,已知正方形 ABCD 的边长为 5,点 E、F 分别在 AD、DC 上,AE=DF=2,BE 与 AF 相交于点 G, 第 4 页(共 20 页) 点 H 为 BF 的中点,连接 GH,则 GH 的长为 . 18.(3 分)如图,在边长都是 1 的小正方形组成的网格中,A、B、C、D 均为格点,线段 CD 相交于点 O. (Ⅰ)线段 CD 的长等于 ; (Ⅱ)请你借助网格,使用无刻度的直尺画出以 A 为一个顶点的矩形 ARST,满足点 O 为其对角线的交点,并简 要说明这个矩形是怎么画的(不要求证明) . 三、解答题(本大题共 7 小题,共 66 分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程) 19.解不等式组 请结合题意填空,完成本题的解答. (Ⅰ)解不等式①,得 ; (Ⅱ)解不等式②,得 ; (Ⅲ)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来: (Ⅳ)原不等式组的解集为 . 20.在某中学举行的一次知识竞赛活动中,每个班参加竞赛的人数都相同.成绩分别为 A、B、C、D 四个等级,四 个等级对应的分数依次为 100 分、90 分、80 分、70 分,现九年级一班和二班的成绩整理并绘制出如下的统计图. 第 5 页(共 20 页) 请根据以上提供的信息,解答下列问题: (Ⅰ)每个班参加竞赛的学生人数为 ; (Ⅱ)二班成绩为 B 等级的学生占比赛人数的 m%,则 m= ; (Ⅲ)求一班参加竞赛学生成绩的平均数; (Ⅳ)求二班参加竞赛学生成绩的众数和中位数. 21.已知 OA、OB 是⊙O 的半径,且 OA⊥OB,点 P 是射线 OA 上的一点(点 A 除外),直线 BP 交⊙O 于点 Q,过 Q 作⊙O 的切线交射线 OA 于点 E. (Ⅰ)如图①,点 P 在线段 OA 上,若∠AQE=28°,求∠OBQ 的大; (Ⅱ)如图②,点 P 在 OA 的延长线上,若∠AQE=28°,求∠OBQ 的大。 22.在一次海上救援中,两艘专业救助船 A,B 同时收到有关可疑漂浮物的讯息,可疑漂浮物 P 在救助船 A 的北偏 西 36.8°方向上,在救助船 B 的西南方向上,船 B 在船 A 正北方向 150 海里处. (Ⅰ)求可疑漂浮物 P 到 A,B 两船所在直线的距离; (Ⅱ)若救助船 A,B 分别以 40 海里/时,30 海里/时的速度同时出发,匀速直线前往 P 处搜救,试通过计算判 断哪艘船先到达 P 处.(参考数据:sin36.8°≈0.6,cos36.8°≈0.8,tan36.8°≈0.75,结果保留整数 第 6 页(共 20 页) 23.甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品.“五一”节期间两家商场都让利酬宾,在甲商场按累计购物 金额的 85%收费;在乙商场累计购物金额超过 400 元后,超出 400 元的部分按 75%收费,设小红在同一商场累 计购物金额为 x 元,其中 x>400. (Ⅰ)根据题意,填写如表(单位:元): 累计购物实际花费 500 700 …… x 在甲商场 425 … 在乙商场 625 … (Ⅱ)当 x 取何值时,小红在甲、乙两商场的实际花费相同? (Ⅲ)“五一”节期间,小红如何选择这两家商场去购物更省钱? 24.如图 1,已知?ABCD,AB∥x 轴,AB=6,点 A 的坐标为(1,﹣4),点 D 的坐标为(﹣3,4),点 B 在第四象 限,点 P 是?ABCD 边上的一个动点. (1)若点 P 在边 BC 上,PD=CD,求点 P 的坐标. (2)若点 P 在边 AB,AD 上,点 P 关于坐标轴对称的点 Q 落在直线 y=x﹣1 上,求点 P 的坐标. (3)若点 P 在边 AB,AD,CD 上,点 G 是 AD 与 y 轴的交点,如图 2,过点 P 作 y 轴的平行线 PM,过点 G 作 x 轴的平行线 GM,它们相交于点 M,将△PGM 沿直线 PG 翻折,当点 M 的对应点落在坐标轴上时,求点 P 的 坐标.(直接写出答案) 25.如图所示,Rt△ABO 的两直角边 OA,OB 分别在 x 轴的负半轴和 y 轴的正半轴上,O 为坐标原点,A,B 两点 第 7 页(共 20 页) 的坐标分别为(﹣3,0),(0,4),抛物线 y= +bx+c 经过点 B,且顶点在直线 x=3 上. (Ⅰ)求抛物线对应的函数关系式; (Ⅱ)若把△ABO 沿 x 轴向右平移得到△DCE,点 A,B,O 的对应点分别是 D、C,E,当四边形 ABCD 是菱形 时,试判断点 C 和点 D 是否在该抛物线上,并说明理由; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,连接 BD.已知在对称轴上存在一点 P,使得△PBD 的周长最。舻 M 是线段 OB 上的一个动点(点 M 与点 O,B 不重合),过点 M 作 MN∥BD 交 x 轴于点 N,连接 PM,PN,设 OM 的长为 t, △PMN 的面积为 S,求 S 与 t 的函数关系式,并写出自变量 t 的取值范围.是否存在最大值?若存在,求出最大 值和此时 M 点的坐标;若不存在,请说明理由. 第 8 页(共 20 页) 2019 年天津市南开区中考数学二模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.【解答】解:原式=2﹣(﹣12)=2+12=14, 故。篋. 2.【解答】解:2cos30°=2× . 故。築. 3.【解答】解:将 40000 用科学记数法表示为:4×10 4 . 故。築. 4.【解答】解:第 1 个,是轴对称图形,不是中心对称图形.故本选项正确; 第 2 个,不是轴对称图形,是中心对称图形.故本选项错误; 第 3 个,是轴对称图形,也是中心对称图形.故本选项错误; 第 4 个,是轴对称图形,不是中心对称图形.故本选项正确. 故。築. 5.【解答】解:此几何体的主视图有两排,从上往下分别有 1,3 个正方形; 左视图有二列,从左往右分别有 2,1 个正方形; 俯视图有三列,从上往下分别有 3,1 个正方形, 故。篈. 6.【解答】解:由图可知:c 到原点 O 的距离最短, 所以在这四个数中,绝对值最小的数是 c; 故。篊. 7.【解答】解: , ①×3+②×2 得:19x=114, 解得:x=6, 把 x=6 代入①得:y=﹣ , 第 9 页(共 20 页) 则方程组的解为 , 故。篊. 8.【解答】解:∵k>0. ∴图象分别位于第一、三象限, 又∵在每个象限内 y 随 x 的增大而减小,x1>x2,x1x2>0, 故 y1<y2, ∴y1﹣y2的值为负数. 故。築. 9.【解答】解:∵将△ABC 绕点 C 顺时针旋转 40°得到△A′B′C, ∴△ABC≌△A'B'C ∴AC=A'C,∠ACA'=40°,∠BAC=∠B'A'C=90° ∴∠AA'C=70°=∠A'AC ∴∠B'A'A=∠B'A'C﹣∠AA'C=20° 故。篊. 10.【解答】解:如图,∵“六芒星”图标是由圆的六等分点连接而成, ∴△ABC 与△ADE 是等边三角形, ∵圆的半径为 2, ∴AH=3,BC=AB=2 , ∴AE= ,AF=1, ∴图中阴影部分的面积=S△ABC+3S△ADE= ×2 ×3+ × ×1×3=4 , 故。篋. 第 10 页(共 20 页) 11.【解答】解:连接 CC′,如图所示. ∵△ABC、△A′BC′均为正三角形, ∴∠ABC=∠A′=60°,A′B=BC=A′C′, ∴A′C′∥BC, ∴四边形 A′BCC′为菱形, ∴点 C 关于 BC'对称的点是 A', ∴当点 D 与点 B 重合时,AD+CD 取最小值, 此时 AD+CD=2+2=4. 故。篈. 12.【解答】解:∵函数图象与 x 轴交于点 A(﹣1,0),且对称轴为 x=1, 则函数图象与 x 轴的另一个交点为(3,0), ∴当 x>3 时,y<0,故①正确; ∵抛物线的对称轴为 x=﹣ =1, ∴b=﹣2a, ∵顶点坐标为(1,n), ∴n=a+b+c=a﹣2a+c,即 n=c﹣a,故②正确; ∵抛物线的开口向下, ∴a<0, ∵b=﹣2a, ∴3a+b=3a﹣2a=a<0,故③错误; 第 11 页(共 20 页) ∵函数图象过点(﹣1,0),即 x=﹣1 时,y=0, ∴a﹣b+c=0, ∵b=﹣2a, ∴a+2a+c=0,即 c=﹣3a, ∵抛物线与 y 轴的交点在(0,2)和(0,3)之间(不包括端点), ∴2<c<3,即 2<﹣3a<3, 解得:﹣1 ,故④正确; 综上,①②④正确, 故。篊. 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分) 13.【解答】解:(﹣3a) 2 a 3 =9a 2 ?a 3 =9a 5 . 故答案为:9a 5 . 14.【解答】解:原式= = × = . 15.【解答】解:∵直线 y=kx+1 经过第一、二、四象限, ∴k<0. ∴该直线解析式可以是 y=﹣x+1. 故答案是:y=﹣x+1(答案不唯一) 16.【解答】解:∵AC 是直径, ∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°, ∴四边形 ABCD 是矩形, 则 S△COD=S△AOD,S△AOB=S△BOC, ∴阴影部分面积=S 扇形 AOD+S 扇形 BOC, 第 12 页(共 20 页) ∵∠BAC=30°, ∴∠BOC=∠AOD=60°, 设⊙O 半径为 r, 则射击到靶中阴影部分的概率是 = , 故答案为: . 17.【解答】解:∵四边形 ABCD 为正方形, ∴∠BAE=∠D=90°,AB=AD, 在△ABE 和△DAF 中, ∵ , ∴△ABE≌△DAF(SAS), ∴∠ABE=∠DAF, ∵∠ABE+∠BEA=90°, ∴∠DAF+∠BEA=90°, ∴∠AGE=∠BGF=90°, ∵点 H 为 BF 的中点, ∴GH= BF, ∵BC=5、CF=CD﹣DF=5﹣2=3, ∴BF= = , ∴GH= BF= , 故答案为: . 18.【解答】解:(Ⅰ)CD= =2 . 故答案为:2 ; (Ⅱ)如图, 第 13 页(共 20 页) 1、以 O 为圆心、OA 为半径作⊙O; 2、借助网格作 AE⊥OA; 3、过点 O 作 RT∥AE,交⊙O 于点 R、T; 4、延长 AB 交⊙O 于点 S,顺次连接 A、R、S、T, 则矩形 ARST 即为所求. 答案为:1、以 O 为圆心、OA 为半径作⊙O; 2、借助网格作 AE⊥OA; 3、过点 O 作 RT∥AE,交⊙O 于点 R、T; 4、延长 AB 交⊙O 于点 S,顺次连接 A、R、S、T, 则矩形 ARST 即为所求. 三、解答题(本大题共 7 小题,共 66 分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程) 19.【解答】解:(I)解不等式①得:x<3, 故答案为:x<3; (II)解不等式②得:x≥1, 故答案为:x≥1; (III)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来为: ; (IV)原不等式组的解集为 1≤x<3, 第 14 页(共 20 页) 故答案为:1≤x<3. 20.【解答】解:(Ⅰ)每个班参加竞赛的学生人数为 5+10+2+3=20(人); 故答案为 20 人. (Ⅱ)二班成绩为 B 等级的学生占比赛人数的 m%,则 m=100﹣25﹣35﹣30=10; 故答案为 10. (Ⅲ)求一班参加竞赛学生成绩的平均数= =88.5. (Ⅳ)二班参加竞赛学生成绩的众数和中位数分别为 100 分,80 分. 21.【解答】解:(Ⅰ)如图①,连接 OQ, ∵OA⊥OB, ∴∠BOA=90°, 由圆周角定理得,∠BQA= ∠BOA=45°, ∵QE 为⊙O 的切线, ∴∠OQE=90°, ∴∠OQB=90°﹣∠BQA﹣∠AQE=17°, ∵OB=OQ, ∴∠OBQ=∠OQB=17°; (Ⅱ)如图②,连接 OQ, ∵QE 为⊙O 的切线, ∴∠OQE=90°, ∴∠OQA=90°﹣∠AQE=62°, ∵OA=OQ, ∴∠OAQ=∠OQA=62°, ∴∠AOQ=180°﹣62°×2=56°, ∵OA⊥OB, ∴∠BOA=90°, ∴∠BOQ=90°﹣56°=34°, 第 15 页(共 20 页) ∴∠OBQ=(180°﹣34°)÷2=73°. 22.【解答】解:(Ⅰ)过点 P 作 PE⊥AB 于点 E, 由题意得,∠BPE=36.8°,∠EPA=45°, 设 PE 为 x 海里,则 AE=PE=x 海里, ∵AB=150 海里, ∴BE=(150﹣x)海里, 在 Rt△PBE 中, , 即: 解得:x≈64, ∴可疑漂浮物 P 到 A、B 两船所在直线的距离约为 64 海里; (Ⅱ)在 Rt△PBE 中,PE=64 海里,∠EPA=45°, 则 AP= PE=64 ≈110.5 海里, A 船需要的时间为:110.5÷40≈2.76 小时, 第 16 页(共 20 页) 在 Rt△BAE 中, , ∴BP=PE÷cos∠BPE=64÷0.8=80 海里, ∴B 船需要的时间为:80÷30≈2.67 小时, ∵2.76>2.67, ∴B 船先到达. 23.【解答】解:(Ⅰ)700×85%=595(元),在甲商场购买 x 元的金额时,实际花费是 0.85x(元); 400+(500﹣400)×75%=475(元),在甲商场购买 x 元的金额时,实际花费是 400+(x﹣400)×75%=0.75x+100. 故答案是:595;0.85x;475;0.75x+100; (Ⅱ)根据题意,有 0.85x=0.75x+100,解得 x=1000, ∴当 x=1000 时,小红在甲、乙两商场的实际花费相同. (Ⅲ)由 0.85x<0.75x+100,解得 x<1000. 由 0.85x>0.75x+100,解得 x>1000. ∴当小红累计购物的金额超过 1000 时,在乙商场购物更省钱; 当小红累计购物的金额不超过 1000 元时,在甲商场购物更省钱. 24.【解答】解:(1)∵CD=6, ∴点 P 与点 C 重合, ∴点 P 坐标为(3,4). (2)①当点 P 在边 AD 上时, ∵直线 AD 的解析式为 y=﹣2x﹣2, 设 P(a,﹣2a﹣2),且﹣3≤a≤1, 若点 P 关于 x 轴的对称点 Q1(a,2a+2)在直线 y=x﹣1 上, ∴2a+2=a﹣1, 解得 a=﹣3, 此时 P(﹣3,4). 第 17 页(共 20 页) 若点 P 关于 y 轴的对称点 Q3(﹣a,﹣2a﹣2)在直线 y=x﹣1 上时, ∴﹣2a﹣2=﹣a﹣1,解得 a=﹣1,此时 P(﹣1,0) ②当点 P 在边 AB 上时,设 P(a,﹣4)且 1≤a≤7, 若等 P 关于 x 轴的对称点 Q2(a,4)在直线 y=x﹣1 上, ∴4=a﹣1,解得 a=5,此时 P(5,﹣4), 若点 P 关于 y 轴的对称点 Q4(﹣a,﹣4)在直线 y=x﹣1 上, ∴﹣4=﹣a﹣1, 解得 a=3,此时 P(3,﹣4), 综上所述,点 P 的坐标为(﹣3,4)或(﹣1,0)或(5,﹣4)或(3,﹣4). (3)①如图 1 中,当点 P 在线段 CD 上时,设 P(m,4). 在 Rt△PNM′中,∵PM=PM′=6,PN=4, ∴NM′= =2 , 在 Rt△OGM′中,∵OG 2 +OM′ 2 =GM′ 2 , ∴2 2 +(2 +m) 2 =m 2 , 解得 m=﹣ , ∴P(﹣ ,4) 第 18 页(共 20 页) 根据对称性可知,P( ,4)也满足条件. ②如图 2 中,当点 P 在 AB 上时,易知四边形 PMGM′是正方形,边长为 2,此时 P(2,﹣4). ③如图 3 中,当点 P 在线段 AD 上时,设 AD 交 x 轴于 R.易证∠M′RG=∠M′GR,推出 M′R=M′G=GM, 设 M′R=M′G=GM=x. ∵直线 AD 的解析式为 y=﹣2x﹣2, ∴R(﹣1,0), 在 Rt△OGM′中,有 x 2 =2 2 +(x﹣1) 2 ,解得 x= , ∴P(﹣ ,3). 点 P 坐标为(2,﹣4)或(﹣ ,3)或(﹣ ,4)或( ,4). 第 19 页(共 20 页) 25.【解答】解:(I)∵抛物线 y= +bx+c 经过点 B(0,4),且顶点在直线 x=3 上, ∴ ,解得: , ∴抛物线对应的函数关系式为 y= x 2 ﹣3x+4. (II)点 C 不在该抛物线上,点 D 在该抛物线上,理由如下: ∵点 A 的坐标为(﹣3,0),点 B 的坐标为(0,4), ∴OA=3,OB=4, ∴AB= =5. ∵四边形 ABCD 是菱形, ∴点 D 的坐标为(2,0),点 C 的坐标为(5,4). 当 x=2 时,y= x 2 ﹣3x+4=0, ∴点 D 在该抛物线上; 当 x=5 时,y= x 2 ﹣3x+4= ≠4, ∴点 C 不在该抛物线上. (III)过点 B 作 BB′∥x 轴,交抛物线于点 B′,连接 B′D 交抛物线对称轴于点 P,设抛物线对称轴与 x 轴交 于点 Q,如图 2 所示. ∵点 B 的坐标为(0,4),抛物线的对称轴为直线 x=3, ∴点 B′的坐标为(6,4). 设直线 B′D 的函数关系式为 y=kx+a(k≠0), 将 B′(6,4),D(2,0)代入 y=kx+a,得: ,解得: , ∴直线 B′D 的函数关系式为 y=x﹣2. 当 x=3 时,y=x﹣2=1, ∴点 P 的坐标为(3,1). ∵MN∥BD, 第 20 页(共 20 页) ∴ = = , ∴ON= OM= t. ∴S△PMN=S 梯形 MOQP﹣S△OMN﹣S△PNQ, = (OM+PQ)?OQ﹣ OM?ON﹣ PQ?NQ, = (t+1)×3﹣ ?t? t﹣ ×1×(3﹣ t), =﹣ t 2 + t, ∴S=﹣ t 2 + t(0<t<4). ∵S=﹣ t 2 + t=﹣ (t﹣ ) 2 + ,﹣ <0, ∴当 t= 时,S 取得最大值,最大值为 ,此时点 M 的坐标为(0, ).
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  • 资料类型: 试卷
  • 资料版本:人教版
  • 适用地区:天津市南开区
  • 文件大。734.12KB
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